Exponentiell Gleitende Mittelwert Übertragungsfunktion

Ein einfach zu bedienender digitaler Filter Der exponentielle gleitende Durchschnitt (EMA) ist ein Typ des unendlichen Impulsantwortfilters (IIR), der in vielen eingebetteten DSP-Anwendungen verwendet werden kann. Es benötigt nur wenig RAM und Rechenleistung. Was ist ein Filter Filter kommen sowohl in analogen und digitalen Formen und existieren, um bestimmte Frequenzen aus einem Signal zu entfernen. Ein übliches Analogfilter ist das unten gezeigte Tiefpass-RC-Filter. Analoge Filter zeichnen sich durch ihre Frequenzantwort aus, wie viel die Frequenzen gedämpft (Amplitudengang) und verschoben (Phasengang) sind. Der Frequenzgang kann unter Verwendung einer Laplace-Transformation analysiert werden, die eine Übertragungsfunktion in der S-Domäne definiert. Für die obige Schaltung ist die Übertragungsfunktion gegeben durch: Wenn R gleich 1 Kiloohm und C gleich einem Mikrofarad ist, ist die Betragsantwort unten gezeigt. Beachten Sie, dass die X-Achse logarithmisch ist (jede Markierung ist 10 Mal größer als die letzte). Die y-Achse ist in Dezibel (das ist eine logarithmische Funktion des Ausgangs). Die Grenzfrequenz für diesen Filter beträgt 1000 rad / s oder 160 Hz. Dies ist der Punkt, bei dem weniger als die Hälfte der Leistung bei einer gegebenen Frequenz vom Eingang zum Ausgang des Filters übertragen wird. Bei der Abtastung eines Signals mit einem Analog-Digital-Wandler (ADC) müssen analoge Filter in eingebetteten Ausführungen verwendet werden. Der ADC erfasst nur Frequenzen, die bis zur Hälfte der Abtastfrequenz liegen. Wenn der ADC beispielsweise 320 Abtastungen pro Sekunde erfasst, wird das Filter (mit einer Grenzfrequenz von 160 Hz) zwischen dem Signal und dem ADC-Eingang platziert, um ein Aliasing zu verhindern (was ein Phänomen ist, bei dem höhere Frequenzen im abgetasteten Signal auftreten Niedrigere Frequenzen). Digitale Filter Digitale Filter dämpfen Frequenzen in der Software anstatt analoge Komponenten. Ihre Implementierung beinhaltet das Abtasten der analogen Signale mit einem ADC, wobei dann ein Softwarealgorithmus angewendet wird. Zwei gemeinsame Designansätze für die digitale Filterung sind FIR-Filter und IIR-Filter. FIR Filter Die Finite Impulse Response (FIR) Filter verwenden eine endliche Anzahl von Samples, um den Ausgang zu erzeugen. Ein einfacher gleitender Durchschnitt ist ein Beispiel eines Tiefpass-FIR-Filters. Höhere Frequenzen werden abgeschwächt, da die Mittelung das Signal glättet. Der Filter ist endlich, weil die Ausgabe des Filters durch eine endliche Anzahl von Eingangsabtastwerten bestimmt wird. Als Beispiel addiert ein 12-Punkt-Gleit-Mittelfilter die 12 jüngsten Abtastwerte, dividiert dann durch 12. Die Ausgabe von IIR-Filtern wird durch (bis zu) einer unendlichen Anzahl von Eingangsabtastwerten bestimmt. IIR-Filter Infinite Impulse Response (IIR) - Filter sind eine Art von Digitalfiltern, bei denen der Ausgang theoretisch in jedem Fall durch einen Eingang beeinflusst wird. Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein Beispiel eines Tiefpass-IIR-Filters. Exponential Moving Average Filter Ein exponentieller gleitender Durchschnitt (EMA) wendet exponentielle Gewichte für jede Probe an, um einen Durchschnitt zu berechnen. Obwohl dies kompliziert scheint, ist die Gleichung, die in der digitalen Filterung Parlance als die Differenzgleichung zur Berechnung der Ausgabe bekannt ist, einfach. In der folgenden Gleichung ist y die Ausgabe x ist die Eingabe und alpha ist eine Konstante, die die Grenzfrequenz festlegt. Um zu analysieren, wie sich dieser Filter auf die Frequenz des Ausgangs auswirkt, wird die Z-Domänenübertragungsfunktion verwendet. Die Amplitudenantwort ist unten für Alpha gleich 0,5 gezeigt. Die y-Achse ist wiederum in Dezibel dargestellt. Die x-Achse ist logarithmisch von 0,001 bis pi. Die Real-Frequenz-Frequenz ordnet der x-Achse zu, wobei Null die Gleichspannung ist und pi gleich der Hälfte der Abtastfrequenz ist. Alle Frequenzen, die größer als die Hälfte der Abtastfrequenz sind, werden gelöscht. Wie erwähnt, kann ein analoges Filter praktisch alle Frequenzen im digitalen Signal unterhalb der halben Abtastfrequenz sicherstellen. Der EMA-Filter ist aus zwei Gründen vorteilhaft in eingebetteten Konstruktionen. Erstens ist es einfach, die Grenzfrequenz einzustellen. Eine Verringerung des Wertes von Alpha verringert die Grenzfrequenz des Filters, wie durch Vergleich der obigen Alpha-0,5-Kurve mit der unten gezeigten Kurve mit alpha 0,1 dargestellt wird. Zweitens ist die EMA einfach zu kodieren und erfordert nur eine geringe Menge an Rechenleistung und Speicher. Die Code-Implementierung des Filters verwendet die Differenzgleichung. Es gibt zwei Multiplikationsoperationen und eine Additionsoperation für jeden Ausgang, der die Operationen ignoriert, die zum Runden von Festkomma-Mathematik erforderlich sind. Nur das aktuellste Sample muss im RAM gespeichert werden. Dies ist wesentlich geringer als die Verwendung eines einfachen gleitenden Durchschnittsfilters mit N Punkten, die N Multiplikations - und Additionsoperationen sowie N Samples, die im RAM gespeichert werden sollen, erfordern. Der folgende Code implementiert den EMA-Filter mit 32-Bit-Fixpunkt-Mathematik. Der folgende Code ist ein Beispiel für die Verwendung der oben genannten Funktion. Fazit Filter, sowohl analoge als auch digitale, sind ein wesentlicher Bestandteil eingebetteter Designs. Sie ermöglichen es Entwicklern, unerwünschte Frequenzen zu befreien, wenn sie den Sensoreingang analysieren. Damit digitale Filter nützlich sind, müssen analoge Filter alle Frequenzen über die Hälfte der Abtastfrequenz entfernen. Digitale IIR-Filter können leistungsstarke Werkzeuge in Embedded-Design, wo Ressourcen begrenzt werden. Der exponentielle gleitende Durchschnitt (EMA) ist ein Beispiel eines solchen Filters, der in eingebetteten Designs aufgrund der geringen Speicher - und Rechenleistungsanforderungen gut funktioniert. Signalverarbeitung / Digitale Filter Digitale Filter sind durch im Wesentlichen abgetastete Systeme. Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Abtastwerte mit gleichem Zeitabstand dargestellt. Finite Implulse Response (FIR) - Filter sind gekennzeichnet durch ein Zeitverhalten, das nur von einer gegebenen Anzahl der letzten Abtastwerte des Eingangssignals abhängt. Anders ausgedrückt: Sobald das Eingangssignal auf Null abgesunken ist, wird der Filterausgang nach einer bestimmten Anzahl von Abtastperioden das gleiche tun. Der Ausgang y (k) ist durch eine Linearkombination der letzten Eingangsabtastwerte x (k i) gegeben. Die Koeffizienten b (i) geben das Gewicht für die Kombination an. Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der Z-Domain-Filtertransferfunktion. Die folgende Abbildung zeigt ein FIR-Filter der Ordnung N 1: Bei linearen Phasenfiltern sind die Koeffizientenwerte um das mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion der FIR-Filter pocesses nur einen Zähler. Dies entspricht einem Nullfilter. FIR-Filter erfordern typischerweise hohe Ordnungen in der Größenordnung von einigen Hunderten. Somit benötigt die Wahl dieser Art von Filtern eine große Menge an Hardware oder CPU. Trotzdem ist ein Grund, eine FIR-Filter-Implementierung zu wählen, die Fähigkeit, eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, die in einigen Fällen eine Anforderung sein kann. Trotzdem hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit guter Phasenlinearität im Durchlaßband wie Bessel-Filter zu wählen. Oder ein Allpassfilter zu entwerfen, um die Phasenreaktion eines Standard-IIR-Filters zu korrigieren. Moving Average Filter (MA) Edit Moving Average (MA) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: MA Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR Filtern. Durchschnittliche Filter Edit Ein Filter, der den Durchschnitt der N letzten Abtastwerte eines Signals berechnet. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben durch: Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters weist N gleich beabstandete Nullen entlang der Frequenzachse auf. Die Null bei DC wird jedoch durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es eine größere Keule, die für das Filterdurchlassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filter Edit Ein Kaskadiertes Integrator-Kammfilter (CIC) ist eine spezielle Technik zur Implementierung von Durchschnittsfiltern, die in Serie geschaltet werden. Die Serienplatzierung der mittleren Filter verstärkt den ersten Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N Durchschnittsfiltern, die jeweils den Durchschnitt von R M Abtastwerten berechnen. Seine Übertragungsfunktion ist folglich gegeben durch: CIC-Filter werden verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren oder, anders ausgedrückt, ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz erneut abzutasten, wobei R 1 Abtastwerte aus R weggeworfen werden. Der Faktor M gibt an, wie viel von dem ersten Lappen durch das Signal verwendet wird. Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N. Wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC herum. Die CIC-Struktur ermöglicht es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, wobei keine Multiplikatoren verwendet werden, die in Bezug auf Hardware gierig sind. Eine Abwärtsabtastung mit dem Faktor R erlaubt die Erhöhung der Signalauflösung durch log 2 (R) (R) Bits. Kanonische Filter Bearbeiten Kanonische Filter implementieren eine Filterübertragungsfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, einem Multiplikator pro Zählerkoeffizienten, einem Multiplikator pro Nennerkoeffizienten und einer Reihe von Addierern. Ähnlich wie aktive Filter kanonische Strukturen zeigte sich diese Art von Schaltungen sehr empfindlich gegenüber Elementwerten: eine kleine Änderung in Koeffizienten hatte einen großen Einfluss auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich das Design von aktiven Filtern von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten zweiter Ordnung oder Leapfrog-Filtern verschoben. Kette der Sektionen zweiter Ordnung Edit Eine Sektion zweiter Ordnung. Oft als Biquad bezeichnet. Implementiert eine Übertragungsfunktion zweiter Ordnung. Die Übertragungsfunktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole und möglicherweise einem Paar von Nullen zugeordnet sind. Wenn die Übertragungsfunktionen ordnungsgemäß ungerade sind, muss ein erster Ordnungsteil zur Kette hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist dem realen Pol und dem realen Nullpunkt zugeordnet, falls einer vorhanden ist. Direct-Form 1 Direct-Form 2 Direct-Form 1 Transponierte Direct-Form 2 transponiert Das von der folgenden Abbildung transponierte Direct-Formular 2 ist besonders interessant in Bezug auf die benötigte Hardware sowie die Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitale Leapfrog-Filter Filterstruktur bearbeiten Digitale Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern. Der Anreiz für diese Wahl ist, von den ausgezeichneten Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der ursprünglichen Leiter-Schaltung zu erben. Das folgende 4. Ordnung allpolige Tiefpass-Leapfrog-Filter kann als digitale Schaltung implementiert werden, indem die analogen Integratoren durch Akkumulator ersetzt werden. Das Ersetzen der Analogintegratoren durch Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Umwandlung zu z 1 s T. Die die beiden ersten Terme der Taylorreihe von z e x p (s T) sind. Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transferfunktion Edit Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filters kann wie folgt geschrieben werden: Aus dieser Gleichung kann man die A, B, C, D Matrizen schreiben als: Aus dieser Darstellung lassen sich Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab grafisch darstellen Den Frequenzgang des Filters oder seine Nullen und Pole zu untersuchen. In dem digitalen Leapfrog-Filter stellen die relativen Werte der Koeffizienten die Form der Übertragungsfunktion (Butterworth, Chebyshev.) Ein, während ihre Amplituden die Grenzfrequenz einstellen. Das Dividieren aller Koeffizienten um einen Faktor von zwei verschiebt die Cutoff-Frequenz um eine Oktave (auch einen Faktor von zwei) nach unten. Ein spezieller Fall ist das Buterworth-Filter 3. Ordnung, das Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 1/2 und 1 aufweist. Dadurch kann dieses Filter in Hardware ohne Multiplikator implementiert werden, jedoch mit Verschiebungen. Autoregressive Filter (AR) Edit Autoregressive (AR) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: Wo u (n) die Ausgabe des Modells ist, ist x (n) die Eingabe des Modells und u (n - m) sind vorherige Abtastwerte des Modellausgangswertes. Diese Filter werden autoregressiv genannt, da die Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen der vorherigen Ausgabewerte berechnet werden. AR-Prozesse können durch ein Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA Filter Edit Autoregressive Moving-Average Filter (ARMA) sind Kombinationen von AR - und MA-Filtern. Der Ausgang des Filters ist als Linearkombination sowohl der gewichteten Eingangs - als auch der gewichteten Ausgangssamples gegeben: ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter mit beiden Pole und Nullen betrachtet werden. AR-Filter werden in vielen Fällen bevorzugt, da sie mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden können. MA - und ARMA-Prozesse hingegen können durch komplizierte nichtlineare Gleichungen analysiert werden, die schwer zu studieren und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozeß mit Abgriff-Gewichtungskoeffizienten a (einen Vektor von a (n), a (n - 1).) Einen Eingang von x (n) haben. Und eine Ausgabe von y (n). Können wir die yule-walker Gleichungen verwenden. Wir sagen, dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist. Wir behandeln das Eingangsdatensignal als Zufallssignal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert ist, bis wir ihn erhalten. Wir können die Yule-Walker-Gleichungen folgendermaßen ausdrücken: wobei R die Kreuzkorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist und r die Autokorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist: Varianzbearbeitung Wir können zeigen: Wir können die Eingangssignalabweichung als: , Expandiert und ersetzt r (0). Können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen: